一、同态映射，同构映射的概念

二、性质

　代数系统的同态与同构

一、同态映射，同构映射的概念。

　　代数系统的同态和同构是研究两个代数系统之间的关系。本课程只研究常见的与二元运算，一元运算有关的代数系统。

1、定义：设 ， 是代数系统，其中 和 都是二元运算，若存在映射 (即函数) ，满足对任意的 ，有 ，

则称 是 到 的同态映射，简称同态。

　
　　到

　　注：若存在从 到 的满同态 ，则称 为 在 下的同态象。

　　例1、(1) ， ，其中 为普通加法， 为模 加法，即 ，有 ，这里 ，令

　　 ， ，

　　则对 ， ，

　　所以 是 到 的同态。显然 是满射，所以 ，即满同态，但不是单同态 。

　　(2) ， ，令

　　　　 ，

　　则对 ，

　　　　 ，

　　所以 是 到 的同态。由于 是双射，所以是同构， 。

　　思考： ， 是同构映射吗？

2、自同态，自同构。

　　自同态——从一个代数系统 到自己的同态称为自同态。

　　自同构——从一个代数系统 到自己的同态称为自同构。

　　例2、 ，给定 ，令

　　　　　 ， ，

　　则对 ， ，

　　所以 是 到 的同态，即自同态。

　　当 时，有 ， ，称 为零同态。

　　当 时，有 ， ，即恒等映射，它是双射的，这时， 是 的自同构，同理可证 也是 的自同构。

　　当 且 时，易证 是单射的，这时 是 的单自同态。

3、同态，同构概念的推广。

　　(1) ， 是两个代数系统，其中的运算都是二元运算，若存在 ，满足对 ，有

　　　

　　　

　　则称 是 到 的同态映射，简称同态。

　　例3、 ， ，其中 为普通的加法，乘法， 为模 加法，乘法

　　令 ， ，

　　则对 ，

　　

　　

　　所以 是 到 的同态，且是满同态。

　　(2) ， 是两个代数系统，其中 和 是二元运算， 和 是一元运算，若存在映射 ，满足对 ，有

　　

　　

　　则称 是 到 的同态。

　　(3) ， ，其中 和 是二元运算， 和 是代数常数，若 ，满足对 ，

　　

　　

　　则称 是 到 的同态。

　　例4、(1) ， ，其中 为普通加法和乘法， 表示求 的相反数， 表示 的倒数。

　　令 ， ，则对 ，

　　　

　　　

　　所以 是 到 的同态。

　　(2) ， ，其中 是加法幺元， 是乘法幺元，都是代数常数， 同(1)，则有

　　

　　所以 是 到 的同态。

二、性质

　　设 是从 到 的满同态，则

1、若 可结合，则 也是可结合。

2、若 可交换，则 也是可交换。

3、若 是关于 的幺元，则 是关于 的幺元。

4、若 是关于 的零元，则 是关于 的零元。

5、若 是关于 的幂等元，则 是关于 的幂等元。

6、若 是 中元素 关于 的逆元，则 是 中元素 关于 的逆元。

　　注：若 分别有两个二元运算，且 中分配律成立，则 中分配律也成立。

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