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一、代数系统


二、子代数系统


三、积代数

 代数系统及其子代数和积代数

重点:掌握代数系统,子代数的有关概念。

一、代数系统

1定义:非空集合 上的 个运算 (其中 元运算, )组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记作

  例如: 都是代数系统。

2、代数常数 (特异元素)

  在某些代数系统中对于给定的二元运算存在幺元或零元,它们对该系统的性质起着重要作用,称为代数常数(特异元素)

  例如: 的幺元 ,也可记为 的幺元分别为 ,同样可记为

二、子代数系统

1定义: 是代数系统, ,若 对运算 都是封闭的,且 含有相同的代数常数,则称 子代数系统,简称子代数

  例如: 的子代数, 的子代数,但 的子代数,却不是 的子代数,因代数常数

2、平凡子代数,真子代数。

  设 是代数系统 的子代数,当 时,称为平凡子代数 (分别是最大和最小的子代数),当 时,称 真子代数

  例1 ,令

   为自然数,

  那么 的子代数。

  证明: ,则

  

  即 封闭,又 ,所以 的子代数。

  当 时, ,当 时, ,它们是 的平凡子代数,而其它的子代数都是 的非平凡的真子代数。

三、积代数

  设 是代数系统,其中 是二元运算,

  令 ,对

   

  则 为代数系统,称为 积代数

  例如: 的积代数为 ,其中运算 为二元运算,对

   有代数常数 有代数常数 ,则

   有代数常数

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