返 回 下一页

一、函数的定义


二、函数的性质


三、常用的一些函数

函数的定义和性质

重点:掌握函数的定义,单射、满射、双射的概念及判定。

一、函数的定义

1定义: 为二元关系,若对任意的 ,都存在唯一的 ,使得 成立,则称 函数

  例如: 是函数,

    而 不是函数。

2、记号:一般用大写或小写的英文字母表示函数,如 ,若 ,记

3、因为函数是二元关系,是一个集合,有关集合和关系的运算对函数都适合。

  

  

4、函数的定义域,值域。

  设 是集合,若函数 满足:

  (1) (2)

  则称 是从 的函数,记作

  符号 表示从 的函数的全体构成的集合。

  例如:函数 ,是从实数集 的函数,即

  函数 ,是从正实数集 的函数,即

  例1 ,求

  解:题目要求从 的所有函数,依函数定义,有

   

   

   

   

   

   

   

   

  故

  一般,若 ( 不全为 ),则

二、函数的性质

1满射: ,则称 满射 (或到上的)

2单射: ,则 ,则称 单射 (或一一的)

3双射: 既是满射,又是单射,则称 双射 (或一一到上的)

  例2判断以下的 是否从 的函数,若是函数,再判断是否单射,满射,双射的;若不是,请说明理由。

  (1)

   

   

   

  解: 是从 的函数,但不是单射,因为 ;也不是满射,因为 ,即

   不是从 的函数,因为 ,但是不存在 ,使 ,即

   不是从 的函数,因为对于 ,有 两个值与它对应。

  (2) (实数集)

   

   

   

  解: 是从 的函数,但它不是单射,因为 ,也不是满射,因为 是区间 ,而不是

   是从 的双射函数。

   不是从 的函数,因为 区间,而不是

  (3) (正整数集)

   

   

   

  解: 是从 的函数,且是单射的,但不是满射的,因为

   不是从 的函数,因 ,不存在 与之对应,即 (或由 ,即 )

   是从 的函数,且是满射的,但不是单射的,因

三、常用的一些函数

1常函数 都有 ( 为常数)

2恒等函数 ,都有

3特征函数 ,其中

4自然映射,设 上的一个等价关系, 是从 到商集 的函数

  返 回 下一页