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从欧几里得到微分几何

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2007-02-28, 01:04 PM	#1
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	从欧几里得到微分几何 ?臍W幾里得到微分幾何什麼是幾何學 �?省身整理：林�?明幾何原本球面幾何與非歐幾何坐標幾何群的觀念黎曼及克萊恩的幾何學聯絡、矢量叢、規範場論 �?格、結、圓周叢規範場論的基本方程式 DNA 的基本公式此帖于 2007-06-08 11:15 AM 被 yogy 编辑.

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2007-02-28, 01:05 PM	#2
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何幾何原本在差不多一百年前，幾何就是歐幾里得。他在公元前三百年左右寫了一部大書，中文叫做《幾何原本》。?倪@本書我們可以看出：在當時的社會，幾何?K不被大家所注意，所以像歐幾里得這樣偉大的人，我們也不大知道他的生平。大致說起?恚菍凫段髟�365～275年間的人物，這是大致算的時間，?K不表示他活了90歲。這本書是人�?文化史上一部非常偉大、有意義的著作，它的主要結論有兩個：一.畢氏定理：有一直角三角形 ABC，則長邊的平方會等於其他兩邊的平方和。由幾何方面?碚f，如果我們在三邊上各作一個正方形，那麼兩個小正方形的面積和就會等於大正方形的面積（見圖一）。圖一 c2=a2+b2 二.三角形三內角之和等於 180°，如果以?� (radian) 為單位，也可以說三角形三內角之和等於 π 這本書在當時受到重視，不單只是為了學幾何，主要還要學一種邏輯推理的方法。歐幾里得用幾個很明顯的事�?──公理，把幾何的結論?墓碛眠壿嫷姆椒ㄍ瞥觥６谒谐龅墓懋斨校^受爭議的是平行公理。平行公理原?硎钦f：有兩條直線被一直線所截，如果截角的和小於 180°，那麼這兩條直線在充分延長後，必相交於一點。（見圖二）圖二另一個簡單的說法是：假使有一直線和線外一點，那麼通過那個點就剛剛好只有一條直線和原?淼闹本€平行。平行者，就是這兩條直線不相交（見圖三）。圖三這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數學家或是對數學有興趣的人便想?钠渌墓砣ネ频闷叫泄怼６@努力延持了兩千年，後?碜C明這是不可能的，於是有了非歐幾何學的發現，這在人�?思想史上是非常特別、有意思的事�?。因此我感覺到這是西洋數學和中國數學不同的地方。《九章算經》是中國古代最有名的數學書，一共九章，第九章談的是所謂勾股，勾、股就是直角三角形中較短約兩個邊，一個叫做勾，另一個就叫做股，而最長的那個邊便稱為弦。勾股定理也就是剛才所謂的畢氏定理，所以它的發現，中國人也應該有份。但是在中國的幾何中，我無法找到�?似三角形三內角和等於 180° 推論，這是中國數學中沒有的結果。因此，得之於國外數學的經驗和有機會看中國數學的書，我覺得中國數學都偏應用；講得過分一點，甚至可以說中國數學沒有純粹數學，都是應用數學。這是中國科學的一個缺點，這個缺點到現在還存在，大家都講應用，不注意基礎科學。當然應用很要緊，但是許多科學領域基本的發現都是在基礎科學。

2007-02-28, 01:06 PM	#3
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何球面幾何與非歐幾何因為有三角形三內角之和等於 180° 這個結論，而有接下?淼闹匾l展：一、球面幾何球面幾何所討論的三角形，不一定是要在平面上，也可以是一個球面三角形，在這個情形下，三角形三內角之和會大於 180°，?K且有一個非常重要的公式： R 是球的半?剑�R2 則是度量球面的曲率，因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式裡。這在數學或物理上是一個重要發展，因為?垡蛩固沟南鄬φ撝校剩� 1/R2 代表一個場的力，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。二、非歐幾何在這個情形下，三角形三內角之和是小於 180°的，即有如下的重要公式：此時 R2 代表非歐幾何的一個絕度的度量，換句話說在非歐幾何的平面上，它的曲率是負的，即曲率＝。因此，在空間或者平面的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負的，像非歐幾何。而其相對應的三角形三內角和，也分別有大於或小於 180°之情形，不再?M足歐幾里得的平行公理。

2007-02-28, 01:07 PM	#4
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何坐標幾何歐幾里得幾何之後，第二個重要的發展是坐標幾何。這是法國哲學家、數學家笛卡兒（1596～1650年），對於研究幾何，引進了坐標的概念，因此可用解析的方法?硖幚韼缀蔚膯栴}。坐標就是說：假使在 X-Y 平面上，有兩個軸：X 軸和 Y 軸，那麼一個點的兩個 X、Y 坐標，就分別以如圖四中的兩個相對應的度量?肀硎尽� 圖四因此幾何的討論可用解析方法，即：於是幾何的問題便成為代數的問題。這樣的發展不但使幾何問題的處理容易些，更有其重大的意義：一、解析之後，使可研究的圖形的範圍擴大，除了直線的一次方程式，或者圓周的二次方程式，我們還可以取任意的方程式 f(x,y)=0，討論所有點它的坐標 (x,y) 適合這樣方程式的軌跡。因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之後，都可?谋硎舅姆匠淌街械玫接嘘P的幾何性質。二、研究的圖形不再局限在二維的平面上，可推?V至高維的空間。世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐標。例如我們所在的空間是三維，有 x、y、z 三個度量。假使要用幾何?肀硎疚锢淼膯栴}，那麼三個度量之外，尚須加一個時間 t，所以物理的空間就變成了四維的空間；不但如此，假使有一點在三維空間運動，那麼除了需要 (x,y,z) ?肀硎军c的位置，還需要這三坐標對時間的微分?肀硎舅乃俾剩� ( )，這就成了六維空間。所以種種的情形都指示我們有必要考慮更高維的空間，?肀硎咀匀坏默F象。解析幾何把幾何研究的範圍大大地擴大了，而科學發展的基本現象，就是要擴大研究的範圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何，便達到了這個目的，使幾何學邁入一個新的階段。

2007-02-28, 01:08 PM	#5
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何群的觀念第三個發展是群的觀念，這是數學上一個基本的結構。數學上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西?倪@個位置移動到其他的位置，也是個運算。而這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質，也就是說：把一個物體?募椎匾频揭业兀僖频奖兀芍苯影盐矬w?募椎匾频奖兀磧蓚€運動的結果，可經由一次運動?磉_成，具有這個特殊性質的，便稱其成一群。研究幾何的對象，應是研究經運動群後是不變的幾何的性質。這個觀念立刻便有了重要的發展。既然討論運動群，有時我們還想討論更大的群，看是不是有些性質不但在運動群下不變，在更大的群之下也是不變。歷史上最主要的例子是投影。假使兩條直線在空間中相交，?囊稽c投影，被一新平面所截，則所得之二直線仍舊是相交。這種「直線相交」的幾何性質，是經過一種比運動還?V的投影之後，仍然不變的。這也有許多應用，如藝術家畫畫，講求透視，遠近合乎幾何的條件。研究幾何性質在投影群之下不變的是所謂投影幾何。投影幾何的發展，把幾何的觀念推?V了，不只是有普通的歐幾里得幾何（討論幾何性質經運動群後不變的），也可以討論投影幾何中，投影後仍是不變的性質。有許多經運動群後不變的性質，在投影變換後是變了的，像距離、角度，但是還有些更重要的性質在投影下是不變的，而且這些性質能經過（大一點的）投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。法國數學家 Poncelet（1788～1867年），在投影幾何發展史上是一個主要的人物。他曾追隨拿破?懝ゴ蚨韲欢矸龘铮艚诙韲O獄中，而他的主要著作，也就是在此時完成的。因此，大家常常抱怨科學研究的設備不好，相形之下，這個例子可以證明這不是科學研究最主要的問題──當然這情形非常例外。

2007-02-28, 01:10 PM	#6
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何黎曼及克萊恩的幾何學在幾何學的發展之中，有許許多多幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結起?恚蔷褪堑聡臄祵W家克萊恩（F. Klein, 1849～1925年）。他在二十二歲的時候，前往德國小城 Erlangen 的一所大學任教。依據德國的習慣，新教授上任必須做一次公開演講，而他講演的結果──Erlangen program，就是這個新幾何學，他把幾何學建立在群的觀念上：一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形?倪@個位置移到另一個位置。因此有了一個群之後，便有一種幾何，它研究所有經過這個變換群不變的幾何性質。這個群可以是歐幾里得運動群，也可以是投影變換群，或者其他種種的群。因為群的選擇不同，也就得到許多不同的幾何學；其中包括非歐幾何學。仿克萊恩的觀點，只要在空間中有一個所謂二次的超曲面，就有一個非歐幾何，它討論使這個二次超曲面不變的投影變換子群所相應的幾何性質。如：在平面上有一個圓周，非歐幾何就變成研究圓內點所構成的空間的性質，也就是在雙曲平面 (hyperbolic plane) 上討論。因此由克萊恩的觀點，非歐幾何學就變得極易處理。在這階段前，還有黎曼 (Riemann) 幾何的發展，這是笛卡兒坐標幾何的自然推?V。在笛卡兒坐標系中如果我們取 m 維的空間，一個點就可以用 m 個坐標 ?肀硎荆它c到原點的距離如果是 d，那麼就有（見圖五）。即這個點到原點距離的平方，是坐標的一個二次式。而黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，於是硬把笛卡兒幾何局部化。因此黎曼幾何可說是一個局部化的幾何。黎曼幾何主要建構在弧長 s 上，弧長微分的平方會等於坐標的一個二次微分式，即；用弧長即可建立一個幾何，因為既然有了 ds，便可計算兩點所連接的曲線的長度，也就是弧長。「測地線」(geodesic) 是指在兩點間使弧長最短的那條曲線，它是平面上直線的推?V。有了測地線，便可以有面積及其他種種觀念。圖五黎曼幾何最初在二維的情形是高斯（Gauss, 1777～1854年）發展的，他在1827年寫了一本差不多五十頁的小冊子，研究在二維（即曲面）的情形及這樣的 ds2 之下，所能夠發展的幾何性質。他的目的是為了應用，因為當時的德國 Hannover 政府要他主持一個測量工作，為了給這個測量工作一個理論甚礎，於是高斯寫下了這篇在微分幾何上最要緊的論文，微分幾何自此誕生。以前關於把微積分用在幾何上的問題，只能說是微積分在幾何學上的應用，在高斯這篇文章之後，微分幾何便成了一門獨立的學問，就是?� ds2 得到一切的幾何性質。 1854年，黎曼（1826～1866年）在為取得大學教書資格的公開演講上，發表了黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何?K不像其他我們所談的歐幾里得幾何，或者克萊恩的 Erlangen program 幾何，或者是投影幾何，需要整個的空間。在黎曼幾何的情形之下，我們只需要空間的一部分，因為 ds2 有意義，我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質，不需要知道全部的空間。也就是說，在這樣的一個小塊裡，便可發展全部的幾何性質，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的。真正使黎曼幾何受到重視的是?垡蛩固沟�?V義相對論。大致說起?恚�?垡蛩固沟�?V義相對論是要把物理幾何化，也就是說把物理的性質變為幾何的性質，因此黎曼幾何就成為物理學家一定要念的一門數學。到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當複雜。在?垡蛩固沟�?V義相對論中的基本公式裡，大致說起?恚锢淼牧κ且粋€曲率；數學家講曲率和物理學家講力、位 (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。

2007-02-28, 01:14 PM	#7
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何聯絡、矢量叢、規範場論在黎曼幾何中，Levi-Civita 平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita 以為在黎曼幾何（?V義相對論裡的其中一種，稱為勞�?�?幾何）都有一個很基本的性質，那就是平行性；在這個時候，空間不再是只用一個坐標系表示的空間，而是需要很多不同的坐標系才能表現的「流形」(manifold)，這樣又把幾何研究的空間推?V了。所以我常有個比喻，如果我們把幾何空間的推?V和人�?穿衣服的過程相對照，那麼一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會中沒有穿衣服，是裸體的；然後笛卡兒把坐標的概念加入了「赤裸」的空間，就好比人�?開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現代人，不只穿一件衣服，還要常常換。也許有些人不太能接受這樣「奇裝�?服」式的換坐標，但是沒有關係，?垡蛩固够似吣甑臅r間，才終於接受坐標可以轉換的概念，而能?莫M義相對論進展到?V義相對論。空間中有不同的坐標系，那麼麻煩就?砹耍驗閹缀蔚男再\|是和坐標系的選取有關，不過不要緊，只要我們能控制坐標變換的性質，使在變換前即有的性質，經過變換之後仍為我們所控制，那麼換坐標就沒關係了，這是近代幾何學比較困難的地方。用以表示流形的坐標系是任意的，因此可能是非線性的坐標，這在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點，都有一個和普通空間一樣的線性空間，即切空間。這些切空間之間原本是沒有關係的，而 Levi-Civita 平行性就是要建立二點之間的切空間的關係；之後，微分幾何學家發現，這個平行性是非常基本的性質。又因為拓樸學 (topology) 的發展，我們把這個觀念推?V了，不一定要談切空間，任意一個空間都可以，於是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯絡 (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個豎起?淼目臻g，任何的矢量空間都可以，這是今天在幾何上大家所公認的一個基本結構。?睦杪鼛缀瓮�?V到有聯絡的矢量叢，這也就是物理上規範場論 (gauge field) 的數學基礎。

2007-02-28, 01:17 PM	#8
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何 �?格、結、圓周叢黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠只在一個小區域裡頭，所以局部化之後又要整體化，又要把它擴充到全空間。而在這個整體化的擴充當中，最要緊的就是拓樸學。只要我們不把一個圖形扯破，那麼就有些幾何性質雖經過放大、縮小等很大的變換，也不會改變，例如�?格 (genus) 的性質。比方說我們在一個二次的曲面上挖兩個洞（見圖六），那麼它的�?格就等於 2。�?格也可以等於 3、4……，或者像美國的甜甜圈只有一個洞，�?格就是 1。即�?格等於洞的個數，這個數目是把曲面放大縮小之後仍舊不變的，這是拓樸不變式的一個例子。圖六圖七另外一個例子是有關於結 (knot)。如圖七，這是一個三維空間中封閉的曲線，沒有辦法把它解開成一圓周，這就是所謂的結。不要把這想成幾何學家沒有事在玩的東西，在應用上，這有非常重要的意義。剛才說過，物理上的空間是四維的，如果再加上電磁場，就成了五維的空間。馬克士威方程式中，底空間是一個四維的流形，在那上頭的每一點都突出去一條一維的空間（矢量叢）。這一維的空間，在物理上必須是封閉的，所以是一個圓周，數學家稱此為圓周叢 (circle bundles) 也就是說，底空間是四維，每一點又有一個圓周，所以整個空間就是五維的。但是這?K不是一個任意的五維空間，它必須?M足這樣特別的一個幾何結構。利用這個觀念，馬克士威方程就可寫成下面這樣簡單的形式：其中 F 是這個圓周叢的一個聯絡的曲率，這曲率是一個二次微分式，d 是代表此微分式的外微分，dF=0 就是說這個二次微分式是封閉的。另外一個方程式是 δ，，即所謂餘微分(codifferential)。在一般的電磁學書上，是用一組方程?肀憩F馬克士威方程。現在由於數學或幾何的發展，不但把一組方程式簡化，而且可由這化簡的方程式去推得數學、幾何、物理上的結論，?K不一定要回?戆逊匠淌饺归_才可獲得相同的結論。所以這觀念上的發展，的確使得科學進步。如果大家有興趣，可試著去證明這組方程和平常我們所見的馬克士威方程是一樣的。圖八

2007-02-28, 01:19 PM	#9
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何規範場論的基本方程式在物理上有一個 Bohn-Aharonov �?驗，就是說：普通把馬克士威方程寫成那樣的形式是不對的。因為它沒有把所有的電磁現象都表示出?恚瑧摾脠A周叢聯絡 A，dA=F 才是描寫所有電磁現象的方程式，dF=0 只是 dA=F 的一種結果。Bohn-Aharonov �?驗的裝置（見圖八），有一個內有磁場的圓筒，外面沒有磁場，而在圓筒的外圍接有線圈，那麼圓筒內的磁場，便和通電之路?接嘘P。楊振寧先生有一篇文章把這情形說得很清楚。總之，就是應該把馬克士威方程寫成：的形式（也就是楊-Mills 方程式），用以處理更複雜的�?驗，也才能真正代表所有電磁現象。除此之外，楊-Mills 方程式是一切場論的基礎，是規範場論的基本方程式，它的重要性就如同馬克士威方程在電磁場或?垡蛩固狗匠淘谝龅闹匾浴２贿^在這個情形下，矢量叢就變成二維而不是一維了，那麼作用在這個二維矢量叢上的群就不再是可交換，因此數學上的處理就變得很複雜了。

2007-02-28, 01:21 PM	#10
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何 DNA 的基本公式最後談談 James White 的公式，這在分子生物學，DNA 方面是一個基本公式。DNA 在幾何上的結構是雙螺線，是兩條封閉的曲線互相繞著，所以很自然的，研究 DNA 幾何結構的基礎是很簡單的微分幾何的曲線理論，和剛剛談的結有關，即打了一個結，結的數學性質就對應到 DNA 的生物反應。目前王倬教授正在南港?氖逻@方面的�?驗。 DNA 分子雖是一個螺線，卻不像我們所想像的，它的螺線是以最經?姆绞交ハ嗬p繞，而產生了許多複雜而有意思的幾何問題。之中有一個就是 White 的公式：Lk=Tk+W。兩個封閉曲線套起?淼脑捰幸粋€套數 Lk，它會等於 twist 和 writhing-number 之和。套的數目可以很大很大，分子生物的現象，不僅是可以使它套起?恚部梢允顾忾_，恢?驮�?淼男螤睢？偠灾也欢@些生物學，只是道聽塗說。大家覺得微分幾何應該是很有用的，因為在物理學發展之中，電磁學對人�?日常生活是最有影響的；而在遺傳工程及其他方面，DNA 的結構也是生物科學對人�?生活最有影響的一門學問。很巧，我剛好就是研究這兩門學問的數學基礎：微分幾何。這讓我聯想到一個有名的理論物理學家，E. Wigner 所寫的一篇文章：〈The unreasonable effectiveness of mathematics in science〉。為什麼數學會有用？光玩玩�?格、結，竟也能找到有用的數學性質，提供了很好的應用，他覺得很不可思議。在這篇文章的開頭，他舉了一個更簡單的例子：有兩個中學同學，畢業後各奔前程，若干年後，兩個人再度碰面，甲便問乙近幾年在研究什麼？乙說他在研究人口問題，甲便欣賞了一下乙的論文，發現論文裏頭總有個 π。我們都知道 π 是圓周率，怎麼可以和人口問題發生關係？這也是一個最粗淺的例子，告訴我們：基本的發現，有時候也不一定要求立刻的應用，可能結果有更大的應用。

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