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群的觀念

第三個發展是群的觀念，這是數學上一個基本的結構。數學上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西?倪@個位置移動到其他的位置，也是個運算。而這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質，也就是說：把一個物體?募椎匾频揭业兀僖频奖兀芍苯影盐矬w?募椎匾频奖兀磧蓚€運動的結果，可經由一次運動?磉_成，具有這個特殊性質的，便稱其成一群。研究幾何的對象，應是研究經運動群後是不變的幾何的性質。這個觀念立刻便有了重要的發展。

既然討論運動群，有時我們還想討論更大的群，看是不是有些性質不但在運動群下不變，在更大的群之下也是不變。歷史上最主要的例子是投影。假使兩條直線在空間中相交，?囊稽c投影，被一新平面所截，則所得之二直線仍舊是相交。這種「直線相交」的幾何性質，是經過一種比運動還?V的投影之後，仍然不變的。這也有許多應用，如藝術家畫畫，講求透視，遠近合乎幾何的條件。

研究幾何性質在投影群之下不變的是所謂投影幾何。投影幾何的發展，把幾何的觀念推?V了，不只是有普通的歐幾里得幾何（討論幾何性質經運動群後不變的），也可以討論投影幾何中，投影後仍是不變的性質。有許多經運動群後不變的性質，在投影變換後是變了的，像距離、角度，但是還有些更重要的性質在投影下是不變的，而且這些性質能經過（大一點的）投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。法國數學家 Poncelet（1788～1867年），在投影幾何發展史上是一個主要的人物。他曾追隨拿破?懝ゴ蚨韲欢矸龘铮艚诙韲O獄中，而他的主要著作，也就是在此時完成的。因此，大家常常抱怨科學研究的設備不好，相形之下，這個例子可以證明這不是科學研究最主要的問題──當然這情形非常例外。

2007-02-28, 01:08 PM	#5
cam 普通会员注册日期: 07-01 帖子: 44 精华: 2 现金: 206 标准币资产: 206 标准币	回复: 从欧几里得到微分几何群的觀念第三個發展是群的觀念，這是數學上一個基本的結構。數學上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西?倪@個位置移動到其他的位置，也是個運算。而這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質，也就是說：把一個物體?募椎匾频揭业兀僖频奖兀芍苯影盐矬w?募椎匾频奖兀磧蓚€運動的結果，可經由一次運動?磉_成，具有這個特殊性質的，便稱其成一群。研究幾何的對象，應是研究經運動群後是不變的幾何的性質。這個觀念立刻便有了重要的發展。既然討論運動群，有時我們還想討論更大的群，看是不是有些性質不但在運動群下不變，在更大的群之下也是不變。歷史上最主要的例子是投影。假使兩條直線在空間中相交，?囊稽c投影，被一新平面所截，則所得之二直線仍舊是相交。這種「直線相交」的幾何性質，是經過一種比運動還?V的投影之後，仍然不變的。這也有許多應用，如藝術家畫畫，講求透視，遠近合乎幾何的條件。研究幾何性質在投影群之下不變的是所謂投影幾何。投影幾何的發展，把幾何的觀念推?V了，不只是有普通的歐幾里得幾何（討論幾何性質經運動群後不變的），也可以討論投影幾何中，投影後仍是不變的性質。有許多經運動群後不變的性質，在投影變換後是變了的，像距離、角度，但是還有些更重要的性質在投影下是不變的，而且這些性質能經過（大一點的）投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。法國數學家 Poncelet（1788～1867年），在投影幾何發展史上是一個主要的人物。他曾追隨拿破?懝ゴ蚨韲欢矸龘铮艚诙韲O獄中，而他的主要著作，也就是在此時完成的。因此，大家常常抱怨科學研究的設備不好，相形之下，這個例子可以證明這不是科學研究最主要的問題──當然這情形非常例外。