笔记2：代数－集合，符号和思维的语言

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第四章 代数学—方程论

14世纪的文艺复兴起源于意大利，数学也开始繁荣，并发生了根本性的变化。文艺复习时期的代数书《大术》(Ars Magna)标志着近代数学时期的开始。

解二次以上方程

意大利数学上取得的突破性进展并不在于求出代数方程的实用近似解，而是在于寻找代数方程的精确解。



丰塔那(Fontana, 1499~1577)，又名塔尔塔利亚，研究三次方程的解法，并找到了形如 的解法。卡尔达诺(Cardano, 1501~1576)，讲塔尔塔利亚的三次方程的解法写入其著作《大术》，并培养其弟子费拉里解四次方程。《大术》首次记载了二次以上方程精确解的一般解法。在应用这种新算法的过程中，出现的解具有复杂的性质，这激发了许多数学家重新考虑数的概念。

代数学基本定理

韦达(Viete, 1504~1603)，法国数学家，是首先认识到代数学不仅仅是发展解方程的技巧。韦达在代数符号上取得重要成就，他用字母表示方程未知量和已知量。韦达不仅仅局限于求出方程的根，开始考虑方程系数和根之间的联系。他注意到了方程的次数与根的个数之间的关系联系，他指出在某些情况下方程的根的个数与其次数相同，但他狭隘的数以及解的概念，阻碍了他得出更为一般的结论。



哈里奥特(Thomas Harriot, 1560~1621)对方程的解与方程本身之间的关系做了重要的研究。哈里奥特给出了称之为逆向问题的一些想法：给定三个数，能否找到以这些数为根的三次方程呢？哈里奥特给出了解法，即三个线性因子的乘积： 。



吉拉尔(Girard, 1590~1633)，对韦达的工作进行了推广：他把三角学方法应用到代数方程求解问题上；他推广了韦达关于代数方程根与系数之间的关系的思想。而其最著名的贡献是：他猜想每个n次方程都有n个根，即代数学基本定理。吉拉尔认为：正如每个合数都可以表示为多个素数的乘积，每个高次多项式都有可能表示为线性因子的乘积。



首先在代数学基本定理的证明上取得进展的是欧拉(Leonhanrd Euler, 1707~1793)。欧拉证明了：任何次数不超过6的实代数方程，存在着与方程次数同样多线性因子。第一个给出代数学定理严密证明的是德国数学家高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)。高斯熟练掌握了复数的性质，而且他是首先赋予复数系一种明确几何解释的第一人。



代数学基本定理指出了多项式的几个性质是如何联系在一起的：它将方程的次数与方程的解的个数联系起来；它表明，从理论上讲，任何多项式都可以进行因式分解；它表明，复数系包含着所有代数方程的所有解。

第五章 几何和分析中的代数

略。见几何学历史。

第六章 寻求新结构

19世纪，代数学性质又一次发生了变化：远离计算，朝着数学基础结构的识别和使用方向发展。数学家们着手研究数学体系的逻辑结构。



伽罗瓦(Galois)发现了“域”，并创造性的运用了置换群。伽罗瓦把研究代数方程的问题转到分裂域上，然后再把分裂域上遇到的困难用有关犬的一系列新问题替代。研究群比研究分裂域或研究代数方程有好处，因为研究群的问题容易解决。群的方法的发现，需要一种极具创造性的思维模式，伽罗瓦的思想是数学史上的一次巨大飞跃。



伽罗瓦注意到：每个分裂域都有一个唯一的置换群与之对应。若两个分裂域有相同的置换群，那么它们的代数结构就“相同”。更重要的是：置换群包含了有关分裂域和该域的代数方程的重要信息。特别地，当置换群具有一定结构时代数方程就可解。



域(Field)

具有如下性质的数集：无论对其中的两个数如何进行加、减、乘、除（除数不能为0），其结果仍是该集合中的数。



群(Group)

一个赋有一种类似于乘法运算的对象集，满足：①集合中的任意两个元素的“乘积”仍为该集合中的一个元素②运算符合结合律。即有 ；③集合中存在一个元素，通常用字母e来表示，满足 ；④集合中每一个元素都一个逆元。因此，如果 是集合中的元素，那么存在一个称为 的元素，满足 。





域(Field)

具有如下性质的数集：无论对其中的两个数如何进行加、减、乘、除（除数不能为0），其结果仍是该集合中的数。



群(Group)

一个赋有一种类似于乘法运算的对象集，满足：①集合中的任意两个元素的“乘积”仍为该集合中的一个元素②运算符合结合律。即有 ；③集合中存在一个元素，通常用字母e来表示，满足 ；④集合中每一个元素都一个逆元。因此，如果 是集合中的元素，那么存在一个称为 的元素，满足 。