笔记2：几何学－空间和形式的语言

log3

第二部分 射影几何学

几何学史上的下一个重要的年代开始于帕普斯死后一千多年的欧洲文艺复兴。之间德一千年，欧洲处于中世纪，数学处于休眠状态。在其他地域，在几何学上也没有太多创新。15世纪，人们发现了一门全新的几何学，称为“射影几何学”(Projective Geometry)。在所有的几何学中，它是独一无二的，因为它来源于艺术而不是科学或者数学。



一      第一批定理

德扎格(Desargues, 1596~1661)

德扎格是第一个把文艺复兴时期艺术家的透视理论变为一套数学定理的人。



射影既不保持长度也不保持角度。而长度和角度正是欧几里德几何所通用的几何性质。德扎格需要找到类似的性质，这种性质在一个射影到下一个射影的过程中保持不变。德扎格在《透视截面论》(Treatise on the Perspective Section)中论叙了德扎格定理(Desargues’s Theorem)。

Desargues’ Theorem

The three straight lines joining the corresponding vertices of two triangles and all meet in a point (the perspector), then the three intersections of pairs of corresponding sides lie on a straight line (the perspectrix). Equivalently, if two triangles are perspective from a point, they are perspective from a line.






之后，德扎格将注意力从简单的三角形转向了圆锥曲线。著作为《试图处理圆锥与平面相交的草稿》(Draft of an Attempt to Deal with the Events of the Meeting of a Cone with a Plane)。德扎格研究的圆锥曲线与波罗尼奥斯几乎在2000年之前所研究的一样，不同之处在于德扎格从射影几何的观点来论述圆锥曲线。德扎格的结论是：无论将一条圆锥曲线怎样投影，结果还是一条圆锥曲线。



德扎格具有高度原创性的思想远远超越他所生活的时代。

帕斯卡(Pascal, 1623~1662)

帕斯卡在梅森(Mersenne)家参加数学家聚会受到了德扎格工作的鼓舞。16岁时在《论圆锥曲线》(Essay on Conics)中发表了帕斯卡定理。后来帕斯卡的兴趣转向其他方面。

Pascal’s Theorem

Given a hexagon inscribed in a conic section, the three pairs of the continuations of opposite sides meet on a straight line, called the Pascal line.

已知一个六边形内接于一条圆锥曲线，那么这个六边形对边的交点位于同一条直线上。








二      射影几何学被重新发现

蒙日(Monge, 1746~1818)

蒙日关于几何学的思想包括截影和透视。画法几何归功于它：他借助于垂直的二维截面，实现对三维物体的机械表示。这种表示后来以“机械制图”著称。蒙日认为：几何学在许多方面比数学分析更为基本。实际上，他使用了现在的几何方法来表述和解决了分析学里的问题。

布里昂雄(Brianchon, 1785~1864)

布里昂雄是蒙日的学生。和同时代的许多数学家一样，布里昂雄没有注意到帕斯卡的工作，结果他重新发现了帕斯卡定理，称为布里昂雄定理。

Brianchon’s Theorem

Given a hexagon circumscribed on a conic section, the lines joining opposite polygon vertices (polygon diagonals) meet in a single point

已知一个六边形外切于一条圆锥曲线，那么连接这个六边形相对顶点的三条线交于一点。

彭赛列(Poncelet, 1788~1867)

彭赛列是蒙日的另一名学生，也是布里昂雄的朋友。彭赛列是拿破仑军队的军事工程师，在拿破仑东征俄国时，战败被俘，在狱中研究射影几何。他对射影几何的贡献远远超过德扎格、帕斯卡、布里昂雄和其他忍，被看作是射影几何之父。《论图形的射影性质》(Treatise on the Projective Properties of Figures)是其最重要的著作。



图形有很多重要的性质在射影下保持不变。彭赛列就发现这样一种性质“交比”――距离比的比。由于距离不是射影几何学里的“射影性质”，所以与距离无关的思想和定义在射影几何学里起着特殊的作用。但彭赛列仍然使用距离来定义射影概念的事实表明他还没有完全从欧几里德的思想里解放出来。



彭赛列发现的另外一个射影几何的重要性质是：对偶原理(Duality Principle)。如果一个命题成立，那么它的偶命题也成立。对偶原理的发现不能只归功于彭赛列一个人，蒙日的另一个学生热尔岗(Gergonne)也声称发现了对偶原理。

施陶特(Staudt, 1789~1867)

施陶特是高斯的学生。施陶特对几何学的贡献在技术方面比较少，更多的是在哲学方面。他的成就是完全摆脱长度的方式重新阐述射影几何学里思想。他证明了射影几何学是几何学里的独立分支，不需要使用欧几里德几何学里的任何结果来理解射影几何学。

克莱茵(Klein, 1849~1925)

克莱茵使用群论研究几何学之间的关系。他研究每种几何学所特有的运动集合。有这样特征的运动构成一个群，每种几何都和一个运动相关。欧几里德的运动集合是图形的旋转和平移。长度和角度是在欧几里德运动下保持不变的性质。射影几何是射影运动构成的群。交比或者圆锥曲线的性质保持不变。



他还发现：对于每种欧几里德运动，总有对应同一类型的射影运动，但有许多射影运动不是欧几里德运动。这个发现证明：射影几何学比欧几里德几何学更为基本。



三      非欧几何学

对第五公设的研究，产生了非欧几何学。用自己的公设替代第五公设而导出的几何学为非欧几何学。罗巴切夫斯基(Lobachevsky, 1792~1856)、波约尔(Bolyai, 1802~1806)、高斯(Guass, 1777~1855)、施韦卡特(Schweikart, 1780~1859)都有这方面的研究。从本质上讲，爱因斯坦的观点使用了非欧几何学。