正交变换详解

huangyhg

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正交变换（Orthogonal Transformation）是指一种线性变换，它使用正交矩阵表示，并满足以下两个关键特性：

    保持长度不变
    ：变换后的向量的长度与变换前相同。这一性质源于正交矩阵的定义，即正交矩阵的转置等于其逆矩阵，从而保证了向量的模（长度）在变换过程中不会发生变化。
    保持角度不变
    ：变换后的向量之间的角度与变换前相同。这一性质使得正交变换在几何变换中尤为重要，因为它能够保持空间中各点间的相对位置关系不变，包括夹角。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵。正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵，即满足A^ T =A^ −1。正交矩阵的列向量（或行向量）都是单位向量，并且这些向量之间两两正交，即它们的内积为零。

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正交变换 是保持形状和角度的“刚性变换”；
仿射变换 则更通用，可以包含缩放、倾斜等“线性变形”。
总结一句话：

    正交变换是“形不变”，仿射变换是“关系不变”（直线、比例、平行关系仍保持）