代数系统

       讨论代数系统、群,

一、基本要求

1. 了解代数运算、代数系统和子代数系统等概念。

掌握二元运算的性质:结合律、交换律、分配律、幂等律、吸收律。

会求集合上代数运算的单位元(幺元)0元和逆元等。

2. 了解半群、群和子群等概念。

掌握群的运算性质:(1) (a-1)-1=a; (2) (a*b)-1=b-1*a-1;(3) am*an=am+n;(4) (am)n=amn; (5)(方程的可解性) 方程a*x=by*a=b有唯一解; (6) (消去律) a*c=b*c c*a=c*b,可得a=b

3. 了解几个特殊的群,掌握其判别方法:循环群、交换群和置换群。

掌握置换、轮换以及乘积等运算。

4.了解群的同态与同构等概念,知道它们的主要性质。

       重点:代数运算及性质,群的概念,置换和置换群、交换群和循环群。

二、学习辅导

       1.代数运算及其性质

h二元运算  A是非空集合, 映射(函数)fA2®A就是A上的二元代数运算,就是说二元运算是一个变换(对应关系)

实数运算就是对应,如23ÎR2×3®6ÎR

代数运算的性质:

h交换律  "x,yÎA,有x¡y=x¡y¡z¡A上适合交换律。

h结合律  "x,yÎA,有(x¡y)¡zx¡(y¡z),运算¡A上适合结合律。

h分配律  "x,y,zÎA,有x*(y¡z)=(x*y)¡(x*z) (y¡z)*x=(y*x)¡(z*x)* ¡ 可分配,适合分配律.  

h幂等律   "xÎA,有x¡x=x,则运算¡A上适合幂等律。

h 吸收律  "x,yÎA, x*(x¡y)=x, x¡(x*y)=x¡ * 满足吸收律.

h单位元  el, (er)ÎA,对"xÎA, el¡x=x (x¡er=x), el(er)A的运算¡左单位元(右单位元)e既是右单位元又是左单位元就是单位元

h0  存在 q就是*0元。一侧成立叫右0元或左0元。

h逆元  xÎA,若x-1ÎA, x-1¡x=x¡x-1=ex-1x逆元.

h代数系统  在非空集合A上,定义了若干代数运算f1,f2,…,fm, (A, f1,f2,…,fm)称为代数系统。若BÍAf1,f2,…,fmB上成立,(B, f1,f2,…,fm)称为子代数系统。

       7.1 通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算,说明理由。

(1) A={1,2}

(2)

(3)

(4)

       (1) 乘法运算不是A上的二元运算,因为2×24ÏA

       (2) 乘法运算不是B上的二元运算,因为素数乘素数不一定是素数,如2×36ÏB

       (3) 乘法运算是C上的二元运算,因为偶数乘偶数仍然是偶数。

       (4) 乘法运算是D上的二元运算,因为对任意

       在集合A上定义的运算,也称该运算在A上封闭。

       7.2 实数集R上的下列二元运算是否满足结合律和交换律?

(1)    (1)   

(2)

       (1) 因为

             

             

所以 ,因此,运算*满足结合律。

       ,所以运算*满足交换律。

       (2) 因为

               

           

一般情况下, ,所以运算 不满足结合律。

       ,所以运算 满足交换律。

       7.3 在例7.2中,运算*是否有单位元,零元和幂等元?若有单位元的话,哪些元素有逆元?

       运算*的定义为:

(1) r1是单位元,则对任意元素rÎR,

             

由于元素*是可交换的,仅考虑 ,即

             

于是          

由于r是任意的,要使上式成立,只有r1=0。因此0是运算*的单位元。

       (2) r1是零元,则对任意元素rÎR,

             

仅考虑 ,即

             

于是          

由于r是任意的,要使上式成立,只有r1=1。因此1是运算*0元。

       (3) rÎR是幂等元,则应有 ,

             

于是          

要使上式成立,只有r=0r=1。因此01是运算*的幂等元。

       (4) r2r1的逆元,则应有

              (*的单位元)

于是

             

因此, 对于R中的任何元素r(只要r¹1)均有逆元,其逆元是

       2.    代数系统

h半群

h

    h子群

    h 性质  适合消去律( )

       7.4 R是实数集,定义R上的二元运算

             

试问R与运算 是否为半群?

       显然 ,故二元运算 R上封闭。

       只需验证 是否满足结合律。

         

             

所以   

(R, )是一个半群。

       7.5 设集合B{1,2,3,4,5},试验证(P(B),Å)是群。P(B)是集合B的幂集,Å是集合的对称差运算,令A{1,4,5}ÎP(B),求由A生成的子群<A>=(A,Å),并求解方程AÅX{2,3,4}

       对任意集合CDEÎP(B),有

      

   

      

所以 ,故(P(B),Å)是半群。

任意

      

所以Æ是二元运算Å的单位元。

       ,任意元素C,二元运算Å的逆元是它自身。

       可见,(P(B),Å)是群。

       ,二元运算Å在集合<A>上满足结合律,又ÆÅ的单位元,AÆ的逆元是自身。可知(<A>,Å)是子群。

       因为A1A,对AÅX{2,3,4},有

                           

       3.特殊群

h交换群  二义运算满足交换律的群,也称阿贝尔群.

h 循环群 能够表成

G={ak½kÎZaÎG}

G循环群. 记作G(a)a是群G生成元.

h置换  是有限集合上的双射sM®Mn元置换

            

单位置换

       逆置换s1

轮换:满足:(1)s(a1=a2, s(a2=a3, …,s(am=a1 (2)s(a)=a,当a¹ak,(k=1,2,…,m).

s是一个长度为m轮换,记作(a1,a2,…,am).

       重要结论:置换有结合律;不相交的轮换有交换律;Sn中任一置换都可以唯一地表示成一系列不相交的轮换之积。

       7.6 设群中每个元素的逆元素就是其自身,则G是一个交换群。

       证明 ,那么

                    

于是有

                    

  ,因为群满足消去律,有

所以G是一个交换群。

       7.7 M{1,2,3,4,5},sM的一个置换

s

s的循环群,(s)的所有子群,和生成元素。

  先把s表成不相交的轮换的乘积,

s(1  2  3)(4  5)

由此可计算出

s2(1  2  3),  s3=(4  5),   s4=(1  2  3)

s5=(1  3  2)   s6=I

所以有s生成的循环群

(s)={I,s,s2,s3,s4,s5,s6}

s的所有子集为

       H1{I,(1  2  3),(1  3  2)}

       H2={I,(4  5)}       

       (1  2  3),(1  3  2)H1的生成元素。

       3. 同态与同构

h 代数系统(G,*)(S,o)f是从GS上的一个映射. "a,bÎG,有

f(a*b)=f(a)of(b)

则称f是由(G,*)(S,o)的一个同态映射. 并称GS同态. 如果f 是满射,则称GS满同态,记作GS;如果f是单射,则称GS单同态.

    (f(G),o)称为(G,*)f下的同态象.

h代数系统(G,*)(S, o),如果f是从GS的一个双射,则称f是从GS同构

h设群(G,*)(S,o),存在从(G,*)(S,o)的同态双射,则称群(G,*)(S,o)同构

       7.8  对于下面给定的群G1G2,函数fG1®G2,判断f是不是群G1G2的同态,如果是,说明是单同态,满同态,还是同构?并求同态像f(G1)

       (1) ,其中+,·是数的加法和乘法,R*是非0实数集合。

   

(2)    (2)    ,其中+,·是数的加法和乘法,

          C是复数集合

   

    (3) ,其中·,+是数的加法和乘法,

          

       (1)

           

                  

       总之,f(a+b)=f(a)f(b),所以f是同态函数。

       因为任何偶数,都映射为1,故f不是单射;又Ran(f)={1,1}ÌR*,故f不是满射。

                  f(G1)={1,1}

        

       f=cosx+isinx是同态函数。

       容易验证 ,所以 f(x)=cosx+isinxs是单射。x取值可数个,而A是单位圆上的连续点,不是满射。所以f(Z)ÌA

f(x)=cosx+isinxs不是满射。

       (3)

       f=lnx是同态函数。

       又因为f(x)=lnx是严格单调函数,只要 ,所以,f=lnx是单射。

       再由f(R+)=R,f=lnx是满射,

       最后得到 是双射。

       三、实例

       1 设集合A{1,2,3,…,10},在集合A上定义的运算,不是封闭的为(   )

(A) "a,bÎA, a*b=lcm{a,b}(最小公倍数)    (B) "a,bÎA, a*b=ged{a,b}(最大公约数)

(C)"a,bÎA, a*b=max{a,b}               (D) "a,bÎA, a*b=min{a,b}

       答案(A)

       解答:在(A)中,取5,7ÎA,lcm{5,7}=35ÏA,故选择(A)正确。

       说明:在(B)中,A中任意两个数的最大公约数为1ÎA,故运算封闭。

(C)(D)中,A中任意两个数的最大和最小者,都在110之间,仍然是A的元素,故元素封闭。

       2  在自然数N上定义的二元运算·,满足结合律代换是(    )

       (A) a·b=ab      (B) a·b=a+2b   (C) a·b=max{a,b}    (D) a·b=½ab½

       答案(C)

       解答"a,b,cÎN, 

对于(A),(a·b)·c=(ab)·c=abc,而a·(b·c)=a·(bc)=ab+c

对于(B),(a·b)·c=(a+2b)·c=a+2b+2c,而a·(b·c)=a·(b+2c)=a+2b+4c

对于(C),(a·b)·c=max{a,b)·c=max{a,b,c},而a·(b·c)=a·max{b,c}=max{a,b,c},故选择(C)正确。

       3 下列代数系统(G,*)中,其中*是加法运算。(    )不是群。

       (A) G为整数集合         (B) G为偶数集合

    (C) G为有理数集合       (D) G为自然数集合

       答案(D)

       解答:代数系统能构成群,需满足:二元运算满足结合律、存在单位元和逆元。

       因为*为加法运算,在(A),(B),(C)中,加法运算满足结合律,单位元为0,任意元素a的逆元为-a。故是群。

       (D)中除元素0有逆元是它自身外,其它元素没有逆元,故不能构成群。选择(D)正确。

       4 s1s2s3是三个置换,其中

  s1(1 2)(2 3)(1 3),s2=(2 4)(1 4),s3=(1 3 2 4)

s3(     )

(A)   (B) s1s2     (C)   (D)s2s1

       答案(B)

       解答

      

               

            

                   

 

故选择(B)正确。

       5 在代数系统(N,+)中,其单位元是                         有逆元。

       答案0;仅有单位元0

       解答:单位元,即存在eÎN,使得"nÎN,n+e=e+nn,对于N,只有数0满足此条件,故对于二元运算“+”,单位元为0

       "nÎN,n+(n)=(n)+n0=e,但-nÏN,只有0ÎN,又满足条件。故只有单位元“0”有逆元。

       6 A是非空集合,集合代数(P(A)ÈÇ)中,P(A)对运算È的单位元是       ,零元是           P(A)对运算Ç的单位元是            

       答案ÆAÆ

       解答:对运算È,只有Æ满足任意集合C,有CÈÆÆÈCC,故È的单位元是Æ。而对于运算È,只有A满足:"CÎP(A),有AÈCCÈAA,故P(A)关于È的零元是A

       P(A)关于运算Ç,有"CÎP(A),有AÇCCÇAC,故AP(A)关于运算Ç的单位元是A

7 把置换

                    

表成轮换的乘积是                    ,表成对换的乘积是                     

答案:(1 2 3)(5 6)(1 3)(1 2)(5 6)(不唯一)

解答:因为置换把1®22®33®1,故第1个轮换为(1 2 3);把4®4;第2个轮换为(4);又把5®66®5,故第3个轮换为(5 6),于是有

              (1 2 3)(5 6)

因为

       

所以     

8 G是由12个元素构成的循环群,aG的一个生成元素,则G           个子群,G的生成元素集合是                  

       答案6{I,a,a3,a5,a7,a11}

       解答

   9 通常数的加法运算可看作正整数N上的二元运算。下列集合是N的子集,加法运算在这些子集上封闭吗?为什么?

(1)

(2) 

(3)

(1) 加法运算在S1上不封闭,因为3ÎS15ÎS1,但358ÏS1

       (2) 加法运算在S2上封闭,证明如下。

       对于任意n1,n2ÎS2,

             

       (3) 加法运算在S3上封闭,证明如下。

       首先,对于任意n1,n2ÎS3,

             

       根据题意, 能被24整除, 能被24整除,而

             

也能被24整除,因此 能被24整除。由此知

       10 (G,¡)是群,a,bÎG,满足 (G,¡)是交换群。

       证明  因为G是群,由群的性质,

             

  ,由消去律,得到

             

所以(G, )是交换群。