3章  集合与关系

 

集合在中学已经学习过,而且在高等数学的学习过程中也曾遇到,这里只是多了一个幂集的概念,着重对幂集合的理解,一是掌握幂集合的构成,二是幂集合的元数为2n,其中n是集合的元数。

 

一、基本要求

       1. 理解集合、元素、全集合、空集合、集合的元数和幂集等概念。

2. 理解集合的包含、子集和相等等概念,熟练掌握集合的表示方法和集合的并、交、补、差和对称差等运算,会用文氏图表示集合的各种运算。

3. 掌握集合运算的基本规律,掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法。

4. 了解有序对和笛卡儿积的概念,会作笛卡儿积的运算。

    本章重点:集合概念,集合的运算,集合恒等式的证明。笛卡儿积。

 

       二、学习辅导

       本章重点辅导四个问题:集合的概念,集合的运算,集合集合恒等式的证明和笛卡儿积。

       1. 集合的概念

       有如下知识点:

    ·集合,元素,集合的元数;

       ·集合的表示方法:列举法和描述法;

       ·特殊集合:全集合E,空集合Æ

       ·集合的关系:包含,子集,集合相等,幂集。

       在集合概念部分要特别注意:元素与子集,子集与幂集,ÎÌ(Í),空集Æ与所有集合等的关系。

 

       3.1 已知S{2,a,{3},4},R={{a},3,4,1},指出下列命题的真值。

       (1) {a}ÎS;                (2) {a}ÎR;

(3) {a,4,{3}}ÍS;           (4) {{a},1,3,4}ÍR;

(5) R=S;                  (6) {a}ÍS;

(7) {a}ÍR;                (8) ÆÌR;

(9) ÆÍ{{a}}ÍR;           (10) {Æ}ÍS;

(11) ÆÎR;                (12) ÆÍ{{3},4}.

       集合S有四个元素组成:2a{3}4,而元素{3}又是集合。集合R类似。

       (1) {a},这是单元素的集合,{a}不是集合S的元素。故命题A{a}ÎS的真值为0

       (2) {a}R的元素,故命题B{a}ÎR的真值为1

       (3) a,4,{3}都是集合S的元素,它们可以构成S的子集。故命题C{a,4,{3}}ÍS的真值为1

       (4) {a}134都是R的元素,它们可以构成R的子集,故命题D{{a},1,3,4}ÍR的真值为1

       注意:列举法表示的集合的元素,把所有元素全列出来,放在圆括号内,在圆括号内的顺序可任意。

       (6)(8)(9)(12)相应题号的命题,其真值为1;而(5)(7)(10)(12)相应题号的命题,其真值为0

 

       3.2 A{=,Î,Ï,Ì, É}选择适当的符号填在各小题的横线上。

       (1)  (1,2,3,4)      N;                   (2)

       (3)   (4)

       (5)                     (6) {正方形}     {菱形}      {四边形}

       (7) {(1,2,3)}         {1,2,3,{(1,2,3)}}

       (1) Ì     (2) Ï, É     (3) Ì  ,  =          (4) Ì      (5) Î, Ì     

        (6) Ì   Ì        (7) Î

 

       3.3 列出下列集合的子集:

       (1) A={a{b}c}

(2) B={Æ}

(3) C=Æ

       (1)因为Æ是任何集合的子集,所以Æ是集合A的子集;由A的任何一个元素构成的集合,都是A的子集,所以{a}{{b}}{c}A的子集;由A的任何两个元素构成的集合,都是A的子集,所以{a{b}}{{b},{c}}{a, c}A的子集;由A的任何三个元素构成的集合,都是A的子集,所以{a{b}c}=AA的子集;于是集合A的所有子集为

       Æ{a}{{b}}{c}{a{b}}{{b},{c}}{a, c}{a{b}c}=A

       (2) (1)B的子集有:Æ{Æ}

       (3) 因为Æ是任何集合的子集,故Æ也是C的子集。因为C中没有元素,因此C就没有其它子集,所以C的子集只有:Æ

说明:

(1) 以集合A8个子集为元素的集合,就是集合A的幂集,即

              P(A)={ Æ{a}{{b}}{c}{a{b}}{{b},{c}}{a, c}{a{b}c}}

那么集合B的幂集为;P(B)={Æ,{Æ}};集合C的幂集:P(C)={Æ}

一般地,如果集合A,有那么P(A)2n个元素。

(2) 根据真子集的定义,对于任何集合A,除了集合A本身不是A的真子集外,其它子集均是A的真子集。于是本例

集合A7个真子集:Æ{a}{{b}}{c}{a{b}}{{b},{c}}{a, c}

集合B只有1个真子集:Æ

集合C没有真子集。

 

2. 集合的运算

       集合的运算有并、交、补、差、对称差,当然应该很好地掌握。由这些运算,派生出10条运算律(即运算的性质),即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等。

       集合的运算部分有三个方面的问题:其一是进行集合的运算;其二是集合运算式的化简;其三是集合恒等式的推理证明。

       集合恒等式证明的目的有两个,一是通过证明的练习,加深对集合性质和第1章命题公式基本等值式的理解和掌握;一是为第8章学习布尔代数中部分性质的应用打下良好的基础。

       集合恒等式的证明方法通常有二:其一,要证明AB,就需要证明AÍB;在证明AÊB

其二,通过运算律进行等式推导。   

 

       3.4设集合A{1,2,3,4},B={2,3,5},

 

      

             

 

       3.5 试证A(BC)(AB)È(AÇC)

       证明  [方法1]

       对任意x

      

       同理,有

      

所以,A(BC)(AB)È(AÇC)

       说明:事实上,方法1的证明,完全是等值过程,可以写作

             

       [方法2] 进行恒等推导。

              A(BC)

        

     =(AB)È(AÇC)

 

       3.6 化简

        

             

             

 

       3. 有序对与笛卡儿积

       有序对就是有顺序的数组,如<x,y>x,y 的位置是确定的,不能随意放置。

       注意:有序对<ab>¹<b,a>,以a,b为元素的集合{a,b}={b,a};有序对(a,a)有意义,而集合{a,a}不成立,因为它只是单元素集合,应记作{a}

       笛卡儿积是一种集合合成的方法,把集合AB合成集合A×B,规定

       A×B{<x,y>½xÎA,yÎB}

由于有序对<x,y>x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A

       h笛卡儿积也可以多个集合合成,A1×A2××An

       h笛卡儿积的运算性质。

 

       3.7 设集合 A={a,b},B={1,2,3},C={d},A×B×CB×A

       先计算A×B{<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}

              A×B×C{<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}×{d}

                      {<<a,1>,d>,<<a,2>,d>,<<a,3>,d>,<<b,1>,d>,<<b,2>,>,<<b,3>,d>}

                  B×A{<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}

 

    3.8 设集合A{1,2},A×P(A)

P(A)={Æ,{1},{2},{1,2}}      

       A×P(A){1,2}×{Æ,{1},}{2},{1,2}

                     ={<1,Æ>,<2,Æ>,<1,{1}>,<2,{1}>,<1,{2}>,<2,{2}>,<1,{1,2}>,<2,{1,2}>}

 

    三、实例

1若集合A{a,b,c},Æ为空集合,则下列表示正确的是(    )

       A.{a}ÎA        B.{a}ÌA        C.aÌA            D.ÆÎA

       答案(B)

       解答:由集合A的元素构成的集合是A的子集,{a}A的子集,故选择(B)正确。

   

    2 设全集合E{1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},AÇB=           ,~B=          

AÈB

答案{2},{1,3,4}{1,3,4,5} 

解答AÇB是由集合AB的公共元素构成的新集合。此处AB公共元素只有2,故AÇB{2},~B是全集合中除去B的元素的剩余元素构成的新集合,全集合E12345,除去B的元素25,余下有134。故~B{1,3,4}~A={4,5},于是~AÈB{1,3,4,5}

 

3 对任意集合SSÈÆS,满足(    )

(A) 幂等律    (B) 零一律    (C) 同一律    (D) 互补律

答案{C}

解答:件集合的运算性质,AÈÆAEÇAA称为同一律。

 

4 设集合A{1a,b,c},B={a,b},那么

P(A)P(B)=                                  P(B)P(A)=       

答案{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}Æ

解答P(A)={Æ,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}

          P(B)={Æ,{a},{b},{a,b}}

所以       P(A)P(B)={ {c},{a,c},{b,c},{a,b,c}},P(B)P(A)=Æ

 

5 设集合A{1,2,{1,2},Æ}, 试求:(1)A{1,2}; (2) AÆ; (3)A{Æ};(4) {{1,2}}A; (5) ÆA; (6) {Æ}A

答案(1) {{1,2},Æ}; (2) A; (3) {1,2,{1,2}}; (4) Æ; (5) Æ; (6)Æ

解答(1) 此处{1,2}是以12为元素的A的子集,属于A,而不属于{1,2}的元素有{1,2}Æ,故A{1,2}={{1,2},Æ}

注意:此处把{1,2}理解为A的元素,所求集合A减去一个元素是无意义的。也就是说,集合之间可以进行并、交、补、差等运算,不能进行一个集合与一个元素之间的运算。       (2) 此处的Æ是空集合,不能理解为集合A的元素。从集合A减去一个没有元素的集合,结果还是A

注意:A中有元素Æ,如果理解为元素Æ,也就出现了同(1)所注的错误。

(3) 此处{Æ}A的子集,结果为从A中除去元素Æ,为{1,2,{1,2}}

(4) 集合{1,2}是集合A的以12为元素的子集,属于{1,2}而不属于A是不可能的,故其结果为Æ

(5) 属于空集合Æ而不属于A这是不可能的,故结果为Æ

(6)A的元素Æ为元素的A的子集{Æ}减去A,结果为Æ

 

6 试证对任意集合ABC,等式(AB)È(AC)=A成立的充分必要条件是

                            AÇBÇCÆ

       证明 必要性

       (AB)È(AC)=A,因为

         (AB)È(AC)=A

                                        

所以 

于是对于任意必有,而必有,故有

       充分性

    ,则对于任意,必有,即,因此

                    

于是,